根号下4-x^2的定积分(根号下4-X^2的定积分是多少)

网友提问√(1-x^2)的定积分怎么求,但他没有说上下限,一般在区间[-1,1]上,即它的定义域上求这个定积分,当然,我们也可以用a,b表示上下限。

根号下4-x^2的定积分(根号下4-X^2的定积分是多少)

定积分的几何意义其实是曲线y=√(1-x^2),x=a, x=b与x轴围成的面积。而f(x)=√(1-x^2)是一个偶函数,它的图像是关于y轴对称的,因此我们可以只探究第一象限内的情况,所以我们可以把下限设为0,求出第一象限上的积分,根据它的对称性,就可以得到第二象限的积分,如果是对称区间,则结果乘以2。

定积分是建立在不定积分的基础上的,因此我们可以先求√(1-x^2)的不定积分∫√(1-x^2)dx. 求这个积分要用到第二换元法,就是记x=sint,这是因为函数f(x)=√(1-x^2)的定义域在[-1,1],所以才可以这样换元。那么就有dx=dsint=costdt, 而√(1-x^2)=√(1-(sint)^2)=cost.

这样通过换元之后,积分就变成了∫(cost)^2dt. 然后利用cos2t=2(cost)^2-1,可以转化得到(cost)^2=(cos2t+1)/2. 原积分就等于1/2 ∫(cos2t+1)dt. 其中∫(cos2t+1)dt=∫cos2tdt+∫dt. 这是积分的和的公式。

又∫dt=t=arcsinx+C1;

∫cos2tdt=1/2 ∫cos2td2t=sin2t /2+C2=sintcost+C2=sint√(1-(sint)^2)+C2=x√(1-x^2)+C2。

所以原积分=(arcsinx+x√(1-x^2))/2+C.

假如要求函数在[-1,1]上的定积分,则只需求函数在[0,1]上的定积分,结果等于(arcsin1-arcsin0)/2=π/4. 因此在[-1,1]上的定积分是π/2.

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