在2020年中考专题复习,等角、倍角、最大角、范围角问题,难度大,这篇文章中,我们主要介绍了等角问题的构造。其实,在构造等角的同时,也可以构造出二倍角,只不过由于初中阶段没有学过二倍角公式,因此无法直接利用三角函数来解决问题。我们可以借助等角的构造,来构造二倍角。
方法一:延长二倍角的某一边,构造等腰三角形
在△ABC中,∠BAC=2∠ACB,可延长CB到D,使得BD=AD,连接AD,构造出两个等腰三角形,即△ABD与△ACD都是等腰直角三角形。
最常见的应用就是求三角函数值,初中阶段要求掌握的特殊角的三角函数值,特殊角包括30°、45°和60°,那么如果求解15°角的三角函数值呢?我们就可以借助上面这种模型。
在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,那么我们可以延长BD,使得BD=AB,由此构造出等腰三角形ABD,且∠D=∠BAD=15°,根据锐角三角函数的定义求出15°角的正切值。
那么,除了这么构造以外,有没有其它构造方法呢?
方法二:作二倍角的平分线,构造等腰三角形
在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,那么我们可以做∠ABC的平分线交AC于点D,则∠ABD=∠DBC=∠ACB,构造了等腰三角形BCD。
例题1:如图,在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,AD⊥BC,CD=4BD,AC=43,则AD的长是多少?
分析:作辅助线,构建等腰三角形,先证明∠G=∠C,则AG=AC,设BD=x,则CD=DG=4x,AB=BG=3x,根据勾股定理列方程可得x的值,从而得AD的长。
例题2:在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠ABC=2∠ACB,∠ACB的平分线OC与BD相交于点O,且OC=AB,求∠A的度数.
分析:本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定还想着,角平分线的定义,三角形的外角的性质,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键。过B作BF平分∠DBC交AC于F,根据角平分线的性质得到BD平分∠ABC,∠ABC=2∠ABD=2∠CBD,由∠ABC=2∠ACB,得到∠ACB=∠ABD=∠CBD,由角平分线的定义得到∠1=∠3=1/2∠DBC,∠4=∠2=1/2∠ACB,推出△OBC≌△FCB,根据全等三角形的性质得到OC=BF,由AB=OC,得到BF=AB等量代换得到∠ABF=∠AFB,求得AB=AF,即可得到结论。
常用这两种方法构造出二倍角,然后求解。
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