荡秋千是平移还是旋转（小猴子在树上荡秋千是平移还是旋转）

　　一年级下册︱怎样通过观察物体的活动发展学生的空间观念？

　　教材在第二单元的教学中安排了丰富的观察物体的活动，目的是通过这些活动发展学生的空间观念。

　　在观察活动中，可能有教师认为实物观察的课堂组织难度较大、占用时间长，为了提高效率，可以直接进行图片观察。但实际上，空间观念的形成仅靠教师的讲解和图例是远远不够的，需要学生具有丰富的感性认识和亲身的实践体验。

　　教材主要设计和安排了两类层次与水平不同的观察活动。

　　一是实物观察，主要是对一个实物的观察，让学生亲身经历“观察实物—直观感知—形成表象—想象判断”的过程，体会从不同方向观察物体所看到的形状可能是不同的。换句话说，通过观察实物的实践，获得不同方向（或站在相对物体的不同位置）观察物体可能看到不同形状的直接经验。

　　二是间接观察物体，如教材中“观察大象”——图中的小猴与小猫分别从两个不同的方向观察同一头大象，学生通过观察这幅图来辨别它们各自看到的大象是什么形状。这种间接观察物体的活动，学生经历的是“观察实物图—空间想象判断—形成表象—观察实物验证” 的过程。实物观察是“看图观察”的基础，“看图观察”是实物观察的发展，因此教材在问题串的设计上都是让学生经历从实物观察到“看图观察”的过程，以此帮助学生积累观察物体的经验，发展他们的空间观念。

　　需要提醒的是，教师要尽量为学生提供可观察、易交流的物体，比如，被观察的物体不宜太小，物体的各个部位要简明并具有显著特征。观察时，还要注意物体不要放得太高，和学生的视线最好在同一水平线上。

　　二年级下册︱怎样利用教材第10页“租船”这一情境，培养学生解决问题的能力？

　　在本册教材中，与前几册一样，应用问题不单设章节和例题，而是结合每部分内容，选择现实的、有趣味的、富有挑战性的题材，采用多样化的呈现形式，引导学生运用所学的知识，结合生活实际来解决问题。在学习了有余数除法后，教材创设了同学们租船活动的情境，结合生活实际，运用有余数除法的有关知识解决简单的实际问题。

　　教学时，可以先鼓励学生说一说，从图中看到了什么？学生从图中获得了“每条船限坐4人” “图上有22人要租船”的信息。提出问题：22人去划船，至少要租几条船？教材呈现了两幅作品，是学生解决这一问题时的思路。这也是本套教材在编写过程中，对逐步发展学生解决问题的策略，如画图、列表等进行有系统的思考和设计。本课是发展学生掌握画图、列表方法的一个有利时机。在具体的学习过程中，学生可以出现多种画图、列表的方式。如果学生先前缺少用画图、列表解决问题的经验，教师可以提示学生通过画一画、写一写的方式解决问题。需要注意的是，我们只鼓励学生选择适合自己的方法解决问题，不要求所有学生掌握所有方法。这样的列表只是最原始的表达方式，只要学生能够把列表的意思表达出来即可，列表的形式可以在长期的学习过程中逐步统一规范。只要学生清楚、直观地表达了自己的想法就可以。

　　“试一试”中的“每时租金9元，30元最多划几小时”。列出除法算式30÷9＝3（时）……3（元）后，鼓励学生联系生活实际，思考剩下的3元能不能再划1时，显然是不能的，因此，30 元最多划3时。

　　需要指出的是，学生在实际问题中，对结果“进”与“舍”的时候会存在困难，这时可以通过模拟操作和生活经验等帮助学生体会。

　　三年级下册︱“图形的运动”这一单元的教学定位是什么？怎样区分生活中的对称、平移和旋转现象？

　　本单元把平移、旋转与轴对称等作为学习内容，从运动变化的角度来认识“图形与几何”。发展学生的空间观念是本单元教学活动的重中之重，因此，建议课堂教学尽可能体现：通过学生身边丰富、有趣的实例，让学生充分感知平移、旋转和轴对称等现象；在动手操作中，体验图形变换，发展空间观念。

　　教材虽然强调在现实情境中帮助学生体会轴对称、平移和旋转现象，但需要注意的是，实际生活中的现象往往很复杂，我们在学习轴对称、平移和旋转现象时可以借助现实情境帮助理解，但不宜对实际生活中的现象做过多讨论，尤其注意不要在评价中出一些复杂的实际生活中的现象让学生来判断。在这里，我们主要学习的是平面图形的轴对称、平移和旋转。练习基本上也都是基于方格纸上的轴对称、平移和旋转运动。

　　在学习中，学生可能会问到摩天轮的运动、窗帘的拉动、门的转动、荡秋千、钟摆等生活现象算不算旋转。回答这些具体的问题，教师首先需要理解轴对称、平移和旋转的概念— —在图形的变换中有一个非常重要的变换，就是全等变换，也叫作合同变换。如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫作全等变换，即原来的图形中，任意两点的距离假设是n的话，经过变换后的两点之间的距离仍是n，所以全等变换是一个保距变换，而且由于距离保持不变，图形整体的形状、大小，都可以证明仍然是保持不变的。

　　全等变换有几种方式。我们可以想象一下两个完全一样的图形，要由一个图形的运动得到另一个图形，可以作怎样的运动呢？可以是平移。除此以外呢？比如，两个三角形有一顶点重合，那么有两种情况：一种是这两个三角形的三个顶点顺序是一致的，这时其中一个经过旋转就能与另一个重合；还有一种是顶点的顺序相反，这时将其中一个反射（翻折）就能得到另一个。上面的变换就是平移、旋转和反射变换，它们是三种基本的全等变换。反射变换也叫作轴对称变换，即一个图形经过反射变换后得到另一个图形，这两个图形成轴对称。

　　具体的什么叫“平移”“旋转”和“反射”，我们不给出数学上严格的定义，在此直观地给予解释，并指出这些变换的基本要素。

　　如上图，如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。可以看出，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。

　　如上图，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。可以看出，确定旋转变换需要两个要素：旋转中心、旋转角(有方向)。

　　如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为反射变换。垂直平分对称点所连线段的直线叫作对称轴。也就是说，反射变换的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定反射变换的关键在于找到对称轴。

　　再来看学生问过的例子，比如，说摩天轮的转动，它看起来既像平移，又像旋转。实际上，这个例子不是一个好例子。为什么这么说呢？因为它过于复杂了，说不清楚的东西太多了。比如，把人抽象成一个点的话，似乎可以看成绕着摩天轮中心的旋转运动。但是，在数学中单纯地讨论一个点的运动没有多大意义，实际上变换是平面上每个点都做同样的运动。如果把人抽象成一个三角形、或者一个长方形，你又会发现它不是旋转了。有的文章是这么认为的，如果静态地看运动前和运动后的图形，人的运动可以看成能够通过平移得到，这是有道理的。总之，这个问题太复杂了，我们不建议让学生去讨论这个问题。又如，窗帘拉动这件事，也是很麻烦的。如果只看窗帘的一个边，确实是在平移；但是要把窗帘看成一个整体，又可以把它看成一种压缩的变化。所以这些例子都不是好的例子。再如荡秋千、钟的摆动，如果把秋千和钟摆抽象成平面图形或点，可以看成是平面图形的旋转，当然，我们不考虑荡秋千的人在荡秋千时的形体变化。但无论如何，这些现象让小学生来讨论都太过复杂。对于这部分内容，小学生通过操作活动直观感受到，平移就是沿着一定的方向移动了一定的距离；旋转就是绕一个点转动一定的角度，就可以了。

　　所以，在学习的开始，教师应该鼓励学生从具体情境中去理解三种变换，但是这时候选择的例子要简洁一些，并且说清楚关注的是什么。当学生有了经验以后，就可以尽快地进入到图形的变换的讨论中。

　　四年级下册︱教材在小数的认识和加减法单元，将原“小数的意义”和“测量活动”调整为 “小数的意义（一）”“小数的意义（二）”“小数的意义（三）”，这样做的目的是什么？

　　本册的“小数的意义”是在三年级结合实际情境初步认识小数的基础上，从一般意义上对小数意义的再认识，其关键是要在小数与十进分数、整数之间建立起联系。教材这样调整的价值主要体现在以下几点：

　　首先，教材通过调整，将小数意义的学习设计为逐层递进的四个课时，即：

　　第一课时，旨在借助元角分、长度原型和直观模型使学生体会到小数与十进分数之间的关系；

　　第二课时，旨在扩大小数的应用背景，加深学生对小数的理解；

　　第三、四课时，旨在认识小数数位的名称及它们之间的关系，借助计数器介绍小数部分的数位名称及数位的相互关系，使学生进一步理解小数的意义。

　　通过安排这四个课时，将小数意义的认识拓展到生活中更广泛的领域，帮助学生有层次地理解小数的意义。

　　其次，教材从不同角度为学生提供了多个实物原型和直观模型，从而帮助学生更好地理解小数，其具体表现如下：

　　（1）在小数的意义（一）中，教材呈现了元角分、长度原型和分数直观模型；

　　（2）在小数的意义（二）中，通过测量引入直尺的直观模型，即引入了数线；

　　（3）在小数的意义（三）中，呈现了数位顺序表。

　　这些原型和直观模型对于学生体会小数与十进分数的关系，以及认识小数各个数位的位值意义，发挥了重要的作用。

　　五年级下册︱整数乘分数与分数乘整数的意义相同吗？

　　在以往的教学中，分数的意义很明确，几个几分之几就用分数乘整数，一个数的几分之几则用整数乘分数，但在五年级下册教材第22页“分数乘法（一）”中，3个1/5是多少，是用整数乘分数来列式，这样是不是表明整数乘分数与分数乘整数的意义相同呢？

　　这实际上是乘法算式是否要区分“被乘数”和“乘数”的问题。根据《义务教育数学课程标准（实验稿）》及《课程标准（2011年版）》，小学数学教材中已经不再区分乘数和被乘数。例如在整数乘法的运算中，算式“4×6”既可以表示6个4相加，又可以表示4个6相加，即在不涉及具体问题情境下，可以代表两个意义，4×6＝6+6+6+6或4×6=4+4+4+4+4+4都是对的。反过来，6+6+6+6既可以写成4×6，也可以写成6×4。同理，4+4+4+4+4+4 既可以用4×6表示，也可以用6×4表示。也就是一种意义可以用两种方式表示。但在具体应用问题的情境中，不同的算式可以表示相同的含义,比如“有6个小朋友，每人有4支铅笔，一共有多少支铅笔？”，要解决这个问题，可以列出算式4×6或6×4，但实际的意义都是表示 6个4相加。

　　在解决实际问题教学过程时，教师要注意让学生理解各数的意义，鼓励他们用自己的语言表达算式的具体含义，但列成算式不要区分“被乘数”和“乘数”，即不要强调“被乘数” 和“乘数”书写位置上的人为规定。同样，在分数乘法的内容中，教材也不区分乘数的位置，处理方法和整数一样，也就是说分数乘整数不但可以表示几个相同分数的和，还可以表示一个数的几分之几是多少。

　　这样的处理，不仅符合课程标准的精神，同时也减少了学生在学习中的“人为”障碍。学生在学习乘法时最重要的是体会乘法的意义，如果过分强调“被乘数”和“乘数”的区别，一是使学生将主要精力放在了这种区分上，可能造成对乘法的意义学习的忽略；二是区分二者对学生来说一直是难点，这加重了学生不必要的学习负担，很多学生是能够在具体情境中运用乘法正确地解决问题，却因为“被乘数”和“乘数”的顺序问题而导致“出错”。

　　在运算教学中，教师要让学生经历从实际情境中抽象出运算的过程，要关注学生对运算意义的理解过程。教师要帮助学生建立实际问题与数学运算的内在联系，使学生通过解决实际问题，产生直觉经验，找到数的运算的现实背景，促进学生理解运算的含义及其性质，并能自觉地运用于解决应用问题之中。在教材中，无论是对“分数乘法”的学习还是其他运算的学习，都十分重视加强学生对运算意义的理解。

　　需要指出的是，目前市场上有一些练习册，由于不了解我们的编写理念，会出现类似“3×1/5和1/5×3的意义、算法、结果是否相同”这样的题目，这不是一个好题目，建议教师给予学生正确的引导，不要让学生在这些问题上浪费太多的时间。

　　在回答这个问题的同时，笔者看到了上海市浦东新区教育学院曹培英老师的一篇文章《关于乘法运算意义与乘法交换律的教学处理》，很受启发。文章在最后谈到的一段文字非常有道理，特摘录部分内容与大家分享：

　　事实上，面对用情境图或文字表达的实际问题，如：

　　共 ？只或 “每袋有6只橘子，4袋一共有几只橘子？”

　　学生一般都能分清6×4或 4×6中的6表示每袋6只橘子，4表示有4袋。但再进一步要求学生概括：“这是求4个6，而不是求6个4”，就会有学生感到困难。于是，为了帮助这些学生，引进了各种各样的练习（包括所谓的“文字题”），越练越“玄”，越练要求越高……以往教学中，教学要求把握失当，也是造成或者扩大“人为教学障碍”的重要因素之一。因此，正确定位“乘法初步认识”的教学目标，是解决问题的一条配套措施。否则，即使从一开始就让学生认识乘法的可交换性，并取消书写位置的限制，仍会存在“人为的教学障碍”。

　　六年级下册︱为什么教材鼓励学生经历“类比猜想—验证说明”的过程，探索圆柱和圆锥体积的计算方法？

　　我们以圆柱体积的内容安排为例。教材安排了探索圆柱体积计算方法的内容，引导学生经历“类比猜想—验证说明”的探索过程，体会类比、转化等数学思想方法。教材先呈现了“类比猜想”的过程，由于圆柱和长方体、正方体都是直柱体，而且长方体与正方体的体积都等于“底面积×高”，由此可以产生猜想：圆柱体积的计算方法也可能是“底面积×高”。在形成猜想后，教材又引导学生“验证说明”自己的猜想。教材中呈现了两种“验证说明” 的方法：一种是用硬币堆成一堆，用堆的过程来说明“底面积×高”计算圆柱体积的道理，这实际上是“积分”思想的渗透；另一种方法是“转化”思想的渗透，即把圆柱通过“切、拼”转化为长方体，再根据长方体体积的计算方法推导出圆柱体积的计算方法。

　　要求让学生经历“类比猜想—验证说明”来探索体积计算方法的过程，主要是由于这样的学习过程的重要性。数学发现通常都是在类比、归纳等方法进行探索的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的。当然，通过合情推理得到的猜想还需要进一步证明。在小学阶段不要求给出严格的证明，只要学生能够从不同角度说明其合理性即可，可以说是验证说明。

　　所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。运用类比的关键是寻找一个合适的类比对象。圆柱和圆锥的体积与已学习过的长方体和正方体的体积存在诸多相似点，为进行类比提供了良好的基础。可能在学习长方体和正方体的体积时，学生已经初步理解了体积和容积的含义，掌握了长方体和正方体的体积计算方法，这些知识都是学习圆柱体积的基础，特别是长方体和正方体的体积计算公式“底面积×高”对探索圆柱的体积计算方法有正迁移作用。这就使得圆柱和圆锥的体积学习有了合适的类比对象或者说类比的基础。

　　海韵教育丨新世纪小学数学（下册）常见问题答疑（1）