来源：数学教育（ID：mathedu01）； 作者：丁前鹏
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
注：△GAD改为△CAD。
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.
∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，
∴ ∠DAH = ∠BAC.
又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，AD = AB = c，
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法，PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌RtΔBCA.
即PB =CA = b，AP= a，从而PH = b―a.
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .
又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o，
∴ DGFH是一个边长为a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.
用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠TBE=∠ABH=90o，
∴ ∠TBH=∠ABE.
又∵ ∠BTH=∠BEA=90o，BT=BE=b，
∴RtΔHBT ≌RtΔABE.
∴HT=AE=a.
∴GH=GT―HT=b―a.
又∵ ∠GHF+∠BHT=90o，
∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90o，
∴∠GHF = ∠DBC.
∵ DB = EB―ED=b―a，∠HGF=∠BDC=90o，∴RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .
过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ=∠BEA = 90o，
可知∠ABE=∠QAM，
而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌RtΔQAM .
又RtΔHBT ≌RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌RtΔQAM .
由RtΔABE ≌RtΔQAM，
又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.
∵ ∠AQM+∠FQM = 90o，∠BAE+∠CAR= 90o，
∠AQM=∠BAE，
∴∠FQM=∠CAR.
又∵ ∠QMF=∠ARC=90o，QM=AR=a，
【证法16】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，则 AD=c.
∵EM=EH+HM=b+a , ED=a，
∴DM=EM―ED=-a=b.
又∵∠CMD=90o，CM=a，∠AED=90o， AE=b，
∴RtΔAED ≌RtΔDMC.
∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.
∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180o，
∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90o，
∴∠ADC=90o.
∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.
∵∠BAF+∠FAD=∠DAE +∠FAD=90o，
∴∠BAF=∠DAE.
连结FB，在ΔABF和ΔADE中，
∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，
∴ΔABF ≌ΔADE.
∴∠AFB=∠AED=90o，BF=DE=a.
∴点B、F、G、H在一条直线上.
在RtΔABF和RtΔBCG中，
∵AB=BC=c，BF=CG=a，
∴RtΔABF ≌RtΔBCG.
本文所有内容来自互联网，如有侵权/不实内容请联系我们删除，联系邮箱postusb@foxmail.com
发布者：缘分，转转请注明出处：https://www.bjxdyg.com/baike/207770.html
