6英寸是多大（6英寸是多大尺寸）

第一章 大数

1.你能数到多大

曾有一个故事，两位匈牙利贵族决定玩一个游戏，谁说出最大的数谁就赢了。

“好呀，”其中一位说，“你先说你的数。”

经过几分钟绞尽脑汁的思考之后，第二位贵族终于说出了他能想到的最大的数。“三。”他说。

现在是第一位贵族的思考时间，但一刻钟之后他最终放弃了。“你赢了。”他同意道。

显然这两位匈牙利贵族不代表很高层次的智力^[1]，况且这个故事可能更多的是对贵族的恶意诋毁，但这样的对话却可能真实发生在霍屯督人^[2]之间。根据非洲探险家的记载，我们可以确认在一些霍屯督部族的词汇表中没有大于三的数字的词汇。当问询一位当地人他有多少个子女或者他杀过多少敌人的时候，如果答案大于三他会回答“许多个”。因此即使是霍屯督部族最凶残的战士，在数数方面也比不过美国幼儿园里的孩子，他们可以数到十呢！

现在我们习惯于认为我们想写多大的数字就可以写多大的数字——无论是用美分为单位表示战争的经费，还是用英寸^[3]为单位表示星际间的距离——只要在数字的后面加上一连串的零即可。你可以一直写零到你的手腕发酸为止，在你手酸之前，你甚至能写出比可观测宇宙中的原子总数更大的数字：300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000。

或者你可以写成：3×10⁷⁴。

这里10右上角的小字数字74表示的是3之后有74个零，换句话说，3要乘以74个10。

但古人并不知道这种“算数简示”的方法。事实上它在不到2000年前才被一位不知名的印度数学家发明。在他的伟大发明——这确实是一项伟大的发明，尽管我们通常没有意识到这点——之前，每个数位上的数字是用专门的符号，也就是我们现称的十进制单位，反复书写而成的。例如数字8732，古埃及人写作：

而在恺撒的办公室里，他的办事员会将其写成如下形式：

MMMMMMMMDCCXXXII

后一种表现形式你应该还很熟悉，因为罗马数字到现在还在使用——表示书籍的卷数或章数，或者在大纪念碑上记载下历史事件发生的日期。过去的计数要求通常不超过几千，更高数目的十进制单位也不存在，那么让一位无论在算数上多么训练有素的古罗马人写下“一百万”这个数字，他都会不知所措。他能实现要求的最好方法，可能就是写下1000个M，这可能要花几个小时（图1）。

奥古斯都·恺撒时期的一位古罗马人尝试用罗马数字写出“一百万”。但即使是写满墙上的板子可能都写不下“一百个一千”，也就是十万。

对于古人而言，诸如天上的星星、大海里的鱼和沙滩上的沙粒这些事物的数目都是“不计其数”的，就像在霍屯督语言中“五”是不计其数的，取而代之的是“许多”一样！

公元前3世纪大名鼎鼎的科学家阿基米德（Archimedes）曾开动他的脑筋，表明书写十分巨大的数字是可能的。

在他的论文《数沙者》中，阿基米德说：

“有人认为沙粒的数量是无限大的，我说的不只是叙拉古^[4]（Syracuse）或西西里的其他地方，而是整个地球上能够找到的所有沙粒，无论是有人居住或者荒无人烟的地方。也有人认为沙粒的数目是有限的，只是没有更大的数字能超越地球上所有沙粒的总数。

“显然持有这种观点的人，如果他们能想象出一团与地球的质量一样大的沙子，这些沙子填充了所有的大海和空洞，一直堆到与最高的山峰相平，那么他们也会认为这些沙粒的数目是最大的。但我将尝试表达出比整个地球质量的沙粒数目还要大的数字，甚至是整个宇宙大小的沙粒的数目。”

阿基米德在这篇著作中提出的表示大数的方法与现代科学中表示的方法类似。他从古希腊算数中存在的最大数“万”（myriad），或者说十千开始。然后他引入了一个新数，“万万”（octade），他称之为“一亿”，作为“第二阶单位”；“亿亿”（octade octade）为“第三阶单位”；“亿亿亿”（octade octade octade）为“第四阶单位”，等等。

花费书上好几页去说明如何书写大数似乎是一件微不足道的事情，但在阿基米德时代，找到书写大数字的方法是一个伟大的发现，是对于数学学科的重大推进。

为计量填满整个宇宙的沙粒的数目，阿基米德需要了解宇宙有多大。在他的时代，宇宙被认为是一个镶嵌有星星的水晶球，与他同时代的著名天文学家，萨摩斯的阿瑞斯塔克斯（Aristarchus）估计，地球到天球边缘的距离是10 000 000 000个体育场^[5]长度，或大约1 000 000 000英里。

相比天球的体积与沙粒数量，阿基米德完成了一系列足以吓到高中生的噩梦一般的计算，最终得出结论：

“显然，根据阿瑞斯塔克斯估计的天球的大小，宇宙能装下的沙粒的数目不会超过一千万个第八阶单位。”^[6]

值得注意的是，阿基米德估计的宇宙的半径是明显小于现代科学家观测的结果的。十亿英里的长度仅仅略微超出太阳到土星的距离。随后我们可以看到，目前通过望远镜已经探索到的宇宙大小有5 000 000 000 000 000 000 000英里，因而能够填满整个可观测宇宙的沙粒数量应当超过：

10¹⁰⁰（或者说1后面跟100个0）。

很明显这要远大于宇宙中所有原子的数目——3×10⁷⁴（在本章开始时有所说明）。但我们不要忘记，宇宙并不是充满了原子，事实上平均每立方米的空间中才有一个原子。

不过我们并不需要通过做诸如将整个宇宙充满沙粒这样极端的事情来得到很大的数。事实上这些大数可能会突然出现在一些很简单的问题中，那些你根本想不到会遇上超过几千的数字的问题。

印度的舍罕王就曾在大数的问题上吃过亏。根据古老传说的记载，他想要赏赐宰相西萨·班·达伊尔（Sissa Ben Dahir）（图2），因其发明并进贡了国际象棋游戏。这位宰相的要求看似很简单：“陛下，”他跪在国王面前，“请在棋盘的第一格摆一粒麦子，第二格摆两粒麦子，第三格摆四粒麦子，第四格摆八粒麦子。陛下，如此往下，每往后一格的麦子数目都比前一格多一倍，直到摆满六十四格为止。”

宰相西萨·班·达伊尔—一位富有经验的数学家，向印度的舍罕王寻求赏赐。

“爱卿，你要求得不多。”国王说，他暗喜自己对这个神奇游戏的发明者赏赐礼物的开明提议并没有用掉他很多的宝藏库存，“你一定会如愿以偿的。”他命人拿来一袋小麦。

于是，当数麦粒的工作开始，第一格放一粒，第二格放两粒，第三格放四粒，但在达到第十二格所占的数目之前，袋子就空了。

更多袋的小麦被带到国王面前，但越往后的格子所需的麦粒的数目增长越是迅速，很快，他们发现整个印度的小麦产量都不能够满足他对西萨·班·达伊尔的许诺。要放满所有的格子需要18 446 744 073 709 551 615粒小麦！^[7]

在算数中，一列后一个数是前一个数的固定倍数（在本例中这个倍数是2）的数列被称为几何级数。可以证明，这样的级数的各项之和，等于固定倍数（在本例中为2）的项数次幂（在本例中为64）减去第一项（在本例中为1），除以固定倍数与1的差。可以这样表示：

=264?1

用具体的数字表示是：

18 446 744 073 709 551 615。

这个数不比宇宙中所有的原子的数目大，但也是足够可观了。假设一蒲式耳^[8]的小麦包括大约5 000 000粒麦粒，那么想要满足西萨·班·达伊尔的要求需要40 000亿蒲式耳的小麦。而世界上小麦每年的平均产量大约在20亿蒲式耳，大宰相要求的小麦数目需要世界维持2000年这样的小麦产量！

舍罕王发现他欠了宰相很大一笔债，他要么面对这笔无穷无尽的债务，要么砍下宰相的头。我们怀疑他选择了后者。

另一个大数扮演主角的故事也来自印度，是有关“世界末日”的。波尔（W.W.R.Ball）是一位爱好数学的历史学家，用下述文字讲述了这个故事：^[9]

在贝拿勒斯（Benares）^[10]标记有世界之中心穹顶之下的圣殿当中放置了一块黄铜板，上面固定着三根金刚石针，每根长一腕尺（一腕尺约合20英寸，约45厘米），大约有蜜蜂的身体那么粗。在创世纪时，梵天^[11]于其中一根针上自下而上放置了从大到小64片纯金片，最大的位于最下面，这就是梵天塔。值班的僧侣夜以继日地将金片从一根针移到另一根针上，根据梵天的永恒之律，僧侣一次只能移动一片，并且要保证不能有小的金片在大的之下（图3）。当64片金片全部从梵天创世时放置的那根针转移到另一根针之后，这座塔、庙宇、梵天和众生都将回归尘土，伴随着一声霹雳，世界也将消失。

图3是故事所描述的内容的图画，当然图画中的金片的数量要少一些。你也可以用纸板片替代金片、长的铁钉替代金刚石针，自己制作这样的智力游戏。

一位僧侣正在巨大的梵天雕像前，在“世界末日”的问题旁忙碌。图中画出的金片数量比64要少，因为难以画出那么多片。

根据移动金片的要求不难发现，每移动一片金片到另一根针上所需的移动次数，是移动上一片所需的移动次数的2倍。移动第一片仅需一步，但移动之后的金片的步数就将以几何级数增加，因而第64片移走之后总的次数将和西萨·班·达伊尔要求的麦粒数量一样！^[12]

那么，移动梵天塔上的全部64片金片的时间是多久呢？假设僧侣们日夜工作毫无休假日，且每秒移动一次，而一年大约有31 558 000秒，那么换算下来大约需要580 000亿年的时间才能完成全部的工作。

将这个纯属传说的预言和现代科学的预测对比一下还是很有意思的。根据现代的关于宇宙演化的理论，恒星、行星，都诞生于大约30亿年前的无形物质之中。我们还知道，给恒星，尤其是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100亿~150亿年。因而我们的宇宙的年龄总共也没有超过200亿年（参见“创世之日”一章）^[13]，根本没有这个印度传说里的580 000亿年那么长。当然，这也不过是个传说罢了。

文学作品中提到的最大数恐怕要属大名鼎鼎的“印刷行数问题”了。假设我们制造了一台能持续一行行印刷的印刷机（图4），每行都能够通过替换字母或印刷符号来得到不同的组合。这样的机器包含有一系列外缘上刻有字母和符号的圆盘。这些圆盘将以类似于汽车上的里程计数器那样的方式装配，每当一个圆盘滚动一圈就会带动下一个圆盘向前滚动一个符号，来自纸卷的纸张会自动送到圆盘滚筒下印刷。这样的自动印刷机应该不难制造，它的一种造型如图4所示。

一台自动印刷机刚刚印出一行莎士比亚的名句。

让我们开动机器，然后查看印刷出来的无尽的行列，其中的大部分毫无意义。它们可能长这样：

“aaaaaaaaaaa…”

或

“boobooboobooboo…”

抑或：

“zawkporpkossscilm…”

但既然这台机器能打印出所有可能的字母和符号的组合，我们可以发现，在这些各种各样的无意义的句子垃圾中也能够找到有用的句子。

当然，有些句子有意思但是没有意义，比如：

“horse has six legs and…”（马有六条腿和……）

或

“I like apples cooked in terpentin…”（我喜欢用松节油煎的苹果……）

但随着更仔细的搜索，我们能找到莎士比亚写的每一句话，甚至他扔进废纸篓里纸上的句子！

事实上这种自动印刷机能印出所有人自会写字后写出的每一句话——每一篇散文、每一首诗、每一篇报纸上出现的社论和广告、每一卷厚重的学术论文、每一封情书、每一条订奶单……

除此之外，这台机器还能印出未来世纪里将要印出的词句。在滚筒下转出的纸张上，我们将发现30世纪的诗篇、在未来成为现实的科学发现、将在第500届美国国会上读出的演讲稿、公元2344年的行星际交通事故的统计记录。印刷出的纸上将有一篇篇尚未被创作的短篇故事和长篇小说，而出版商只需在他们的地下室里放上这样一台机器，然后在印刷出的大量垃圾中寻找好词句出版即可——他们现在也差不多是这么做的呀。

那为什么这无法完成呢？

好吧，我们来数一数，为得到所有的字母和印刷符号组合需要多少行。

英语字母表中有26个字母，10个数字，14种常用符号（空格、句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、连字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号），共计50个字符。我们还假设这台机器有65个圆轮，表示每行有65个字符位。每行的开始都有50种字符的可能，每种可能的下一位都再有50种可能；这总共就是50×50=2 500种可能。然而前两位字符的每一种组合我们都再对应50种第三位字符的选择，之后的第四位同理。最后整个句子的排列可以表示为：

为感受这个数字的巨大，我们把宇宙中的每个原子都想象为一台印刷机，那么我们就有3×10⁷⁴台同时工作的机器。进一步假设所有的机器都从宇宙创始时开始工作，它们工作了30亿年之久，或者说10¹⁷秒，以原子振动的频率印刷，也就是每秒10¹⁵行。那么到现在它们应该打印出了大约3×10⁷⁴×10¹⁷×10¹⁵=3×10¹⁰⁶行——大约只有所需总量的万分之三。

显然，想在这些自动印刷的材料中做任何的选取都要花费相当长的时间！

2.如何计数无穷大

在前一节里我们讨论了数字，其中的许多都是相当大的数。但即使是这些数字巨大，例如西萨·班·达伊尔要求获得的麦粒数是令人难以置信的大，它们也是有限的，在时间足够长的情况下总能写到它的最后一位。

也有些数字真的是无限的，比我们能写出的任何数都要大。因此“所有数字的数目”显然是无穷大的，“一条线段上的所有几何点的数目”也一样。那么，有没有什么办法可以描述它们而不只是说它们是无穷大的，或者说，有没有可能举个例子，比一比两个不同的无穷大，看哪一个“更大”？

“所有数字的数目相比一条线上所有点的数目是大还是小？”这样的问题有意义吗？这个乍看有些荒诞的问题，著名数学家乔治·康托尔（Georg Cantor）最先思考过，他确实可以被称为“无穷大数算数”的奠基人。

当我们想要讨论无穷大数是更大还是更小时，我们面临的问题是，需要比较我们既不能命名又不能写下的数字，这时我们就像一位正在查看自己的宝箱中是玻璃珠多还是铜币多的霍屯督人，但是你应该还记得，霍屯督人数不了比3大的数。那他会因为数不了大于3的数而放弃比较玻璃珠和铜币的数目吗？显然不可能。如果他足够聪明，他会通过一个一个比较玻璃珠和铜币来得到答案。

他会把一粒玻璃珠放在一块铜币旁边，另一粒玻璃珠放在另一块铜币旁边，然后继续下去……如果玻璃珠用完了而铜币还有，他便知道铜币更多，反之玻璃珠更多，如果都用完了就是一样多。

康托尔提出了完全一致的方法来比较两个无穷大的数：假使我们能将两个无穷大里的成分一一配对的话，如果没有剩余成分，就说明两个无穷大是一样的。但如果这样的安排是无法进行的，其中一个无穷大中有成分剩余，我们就说这个无穷大比另一个更大，或者说更强。

这显然是最合理的，也是唯一可行的比较无穷大的数量的方法。但当我们准备实际套用它的时候我们会再大吃一惊。举个例子，奇数和偶数都是无穷多，你会自然而然地觉得这两个无穷大是一样大的，即奇数和偶数一样多，这和上述的法则也完全一致，因为一对一配对这些数字可以得到：

在这里每一个偶数都与一个奇数配对，反之亦然，因此偶数的无限多与奇数的无限多一样大。这是显而易见的！

下面哪个数目你认为更大：所有整数的数目，包括所有偶数和奇数，还是只有偶数的数目？你当然会说所有整数的数目更大，因为它既包含了偶数，还包含了奇数。但这只是你的印象，为了得到准确的答案你还是要套用上面比较两个无穷大的法则。

然而，如果你用了这个法则你就会惊诧地发现你的印象是错的。事实上，当一一配对所有整数和偶数时：

根据我们的比较无穷大的法则，我们必须承认，偶数数目的无穷大和整数数目的无穷大是一样大的。这听起来与常理相悖，因为偶数只是整数的一部分，但我们必须记住，当我们和无穷大数打交道的时候，我们必须准备好面对意想不到的性质。

实际上在无穷大的世界里，部分可能和整体相等！这一点或许最适合用关于德国著名数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）的一个故事来阐述。据说他在关于无穷大的课堂上将无穷大的这种似是而非的性质用下面的话表述出来：^[14]

我们来想象一家拥有有限多房间的宾馆，并假设所有房间都已经有人入住。一位新的房客到来，询问是否有空房。“很抱歉，”房东说，“房间已满。”现在我们再想象一家拥有无限多房间的宾馆，全部住满。同样有位新房客来询问房间。

“当然没问题！”房东说，他将原来住在N1房间的房客移到N2房间，N2房间的房客移到N3房间，N3移到N4，如此类推……最终新房客住进了N1房间，一切都好。

我们再来想象一家拥有无限多房间的宾馆，房间全部住满，然后来了无限多数量的新房客询问房间。

“当然，先生们，”房东说“稍等一下即好。”他将N1房间的房客移到N2，N2房间的移到N4，N3的移到N6，如此类推……

“这样一来所有奇数号的房间都空出来了，无限多数目的房客就可以入住了。”

当然，因为身处世界大战之中，即使是在华盛顿也很难想象希尔伯特所描述的情况，但这个例子举得恰到好处，它告诉我们无穷大数的性质与普通数字的算数法则大不相同。

根据康托尔的比较两个无穷大数的法则，我们还能证明所有的普通算数分数，如或的数目与所有的整数的数目相同。事实上我们可以使用下面的规则来排列分数：我们先写下分子和分母之和为2的分数，即；然后是和为3的分数：和；然后是和为4的分数：，，，如此往下。按照这样的方式操作我们就能得到一列包含所有能想到的分数的数列（图5）。现在在这个数列之上写下整数的数列，你会发现这两个数列是一一对应的。这说明分数和整数的数量是一样多的！

一名非洲土著和乔治·康托尔教授正在比较超过他们计数能力的数字。

“嗯，这很棒，”你会说，“但这不就表明所有的无穷大数都相等了吗？如此一来，这还有什么可比性吗？”

不，事情并不是这样的，人们很容易找出比所有整数或者分数的数目更大的无穷大数。

事实上，如果考虑一下本章前面提到的一条线段上的点的数目与所有整数的数目的比较，我们会发现这两个无穷大是不一样大的，一条线段上的点的数目要比整数或分数的数目多得多。为证明这一点，我们尝试建立一条1英寸长的线段上的所有点和整数数列的一一对应的关系。

这条线段上的每一点都可以描述成这一点到线段的末尾的距离，而这个距离可以写成无限小数的形式，如0.735 062 478 005 6…或0.382 503 756 32…^[15]。因而我们需要比较所有整数的数目和这些所有可能的无限小数的数目。那么上面给出的无限小数和普通算数分数，例如 或 ，有什么区别呢？

在学过的算术课上你需要记得，一些分数都可以被转化为无限循环小数，比如，=0.66666…=，=0.428571|428571|428571|4…=。我们已经通过上文证明了所有普通算数分数的数目与所有整数的数目相同，所以所有无限循环小数的数目与所有整数的数目相同。但是线段上的点并不只是对应无限循环小数，在大部分情况下我们得到的无限小数里的数字没有任何规律可言。显然这轻易就证明了“一一对应的关系”是无法得到的。

假设有人声称建立了这样的对应关系，并且它长得像这样：

N

1 0.386 025 630 78…

2 0.573 507 620 50…

3 0.993 567 532 07…

4 0.257 632 004 56…

5 0.000 053 205 62…

6 0.990 356 385 67…

7 0.555 227 305 67…

8 0.052 773 656 42…

… ……

当然，既然不可能把无穷多的整数和无限位数的小数全部写出来，上述的声明意味着此人发现了某种普遍规律（就像我们用来排列普通分数的一样），根据这个规律他写出了上面这张表，而这个规律可以保证每个小数都迟早会出现在表上。

不过，我们不难证明这种声明是靠不住的，因为我们总是能写出这张无限的表里不包含的无限小数。如何做到呢？这很简单，只要写下第一位小数不同于表里N1的小数的第一位的，第二位小数不同于N2的第二位的，如此类推。最后你得到的数字会长这样：

这个数不在这张表里，无论你往下看多少项。其实如果表的作者告诉你，你写的这个小数在表里的第137号（N137，或其他任何一号），你可以立即反驳：“不，这两个小数不同，因为它们的第137位小数是不一样的。”

因此线段上的点和整数数目之间一对一的对应关系是不可能建立的，这就说明线段上点的个数比所有整数或分数的数目更大，或者说更强。

我们之前讨论的是“1英寸长的”线段上的点，但根据我们的“无穷大算数”，显而易见,任何长度的线段都服从这一规律。事实上，1英寸、1英尺、1英里长的线段上的点的数目都是一样多的。为证明这点我们可以看一下图6，它比较了两条不同长度的线段AB、AC上的点的数目。

为建立两条线段上的两点之间的一一对应关系，我们可以画无数条BC的平行线，这些线各交AB和AC于一对点，比如D和D’，E和E’，F和F’，等等。这样一来，AB上的每个点就都对应有AC上的一个点，反之亦然。因此根据无穷大的规则，这两条线段上（即AB、AC）无穷多的点的数目是一样多的。

其实随着对无穷大的研究，一个更令人惊诧的结论可以表示为：一块平面上的点的数目与一条线段上的点的数目是一样多的。为证明这点，我们可以以一条长1英寸的线段AB与正方形CDEF为例（图7）。

假设线段上给定的某点，数值是0.751 203 86…，我们可以把这个数分成两个小数，选取其偶数位和奇数位的小数，然后分别拼在一起，我们可以得到：

0.710 8…

和

0.523 6…

在正方形里测量这两个数字分别对应的水平和垂直距离，然后把得到的点称为线段上的原始点的“对应点”。反之，如果我们在正方形里有一个点，位置可以表述为：

0.483 5…

和

0.990 7…

我们可以通过融合这两个数字，获知其在线段上的“对应点”是：

0.498 930 57…

显然这个过程建立了一一对应的关系。线段上的每一点都有它在正方形里的对应点，正方形里的每一点也有它在线段上的对应点，没有剩余的点。根据康托尔的准则，正方形里的点的个数的无穷大数与线段上的点的个数的无穷大数是相等的。

通过类似的方式我们也能轻易证明，表示一个立方体里的点的个数的无穷大数与表示正方形里的点的个数的无穷大数，或者表示线段上的点的个数的无穷大数是一样多的。为证明这点，我们只需要把原来的小数分成三个部分^[16]，然后用这三个新的小数来描述正方体里的“对应点”的位置。

另外，和两条不同长度的线段上的点的数量相同的情况一样，不同尺寸的正方形和立方体里的点的数目也是一样的，无论它们有多大。

然而，所有几何点的数目，尽管它们比整数和分数的数目大，但并不是数学家已知的最大的无穷大数。事实上数学家发现，所有曲线的样式的数量总和，包括那些最奇异的形状，是比几何点的总数更大的“社群”，因此它们必须要用第三级的无穷数列来表示。

乔治·康托尔——“无穷大算数”的创造者，将无穷大数用希伯来字母N [读作阿莱夫（Alef）]表示，在其右下角标注一个数字表示无穷大的等级。如此一来，数列（包括无穷大数）的表示形式便是这样的：

1，2，3，4，5，…，N1，N2，N3，…

我们说“一条线上有N1个点”，或者说“有N2种不同的曲线”，正像我们说“世界有7大洲”或“一盒扑克牌有52张”^[17]一样。

在总结关于无穷大的讨论之时，我们需要指出只要几个等级就能涵盖我们能想到的一切无穷大的情况。我们知道N0表示所有整数和分数的数目，N₁表示所有几何点的数目，N₂表示所有曲线样式的数目，但迄今为止还没有人想到任何能用N₃表示的确切的无穷大物体的集合（图8）。

已有的三个无穷大看似已经足以计数所有我们能想到的无限多的物体，并且我们发现，我们已经完全不像我们的老朋友霍屯督人那样了——他们甚至连第四个儿子都数不出来！

[1]　这个论据有另一个属于同一系列的故事的支持：一群匈牙利贵族在攀爬阿尔卑斯山的过程中迷路了。其中一个拿出一张地图，在研究了很久之后表示，“我知道我们在哪儿了！”“哪儿？”其他人问。“看见那座大山了吗？我们就在山顶上！”

[2]　霍屯督人（Hottentots），南部非洲的种族集团。自称科伊科伊人。主要分布在纳米比亚、博茨瓦纳和南非（译注）。

[3]　本书多处使用“英寸”“英尺”“英里”“磅”等英制单位，为保留原数据的整数情况，同时也考虑到读者的阅读体验，所以没有进行单位换算。1英寸=2.54厘米，1英尺=3.048分米，1英里=1.609千米，1磅=0.45千克（编注）。

[4]　叙拉古，西西里岛东海岸城市（译注）。

[5]　一个希腊的“体育场”的长度是606英尺6英寸或188米。

[6]　用我们的计数法表示：

一千万 第二阶 第三阶 第四阶

10 000 000×100 000 000×100 000 000×100 000 000×

第五阶 第六阶 第七阶 第八阶

100 000 000×100 000 000×100 000 000×100 000 000

或简写为：10⁶³（1后面63个0）。

[7]　聪明的宰相要求的麦粒的数目可以表示为如下的形式：1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶²+2⁶³。

[8]　蒲式耳，欧美使用的计量谷物和水果的体积单位，约合8英制加仑，即36.37升。

[9]　波尔，《数学游戏和论文》（Mathematical Recreations and Essays，麦克米兰公司，纽约，1939）。

[10]　贝拿勒斯，印度北部城市，印度教的圣地。

[11]　梵天，印度教的创造之神（译注）。

[12]　如果我们只需要移动7片金片，最少需要：1+2¹+2²+2³+…， 或2⁷?1=2×2×2×2×2×2×2?1=127次。 如果你迅速且没有失误地完成移动，需要大约1小时来完成这个任务。 当总共有64片时，移动全部所需的最少次数是： 2⁶⁴?1=18 446 744 073 709 551 615 这和西萨·班·达伊尔要求的麦粒数量一样。

[13]　目前天文学家的结论是宇宙的年龄大约有138.2亿年，而太阳的年龄大约有45.7亿年，预计太阳还能继续燃烧50亿~ 60亿年。作者创作本书时的天文学发展还未到今天的层次，因而对宇宙的认识不如当今（译注）。

[14]　本段引自：《希尔伯特轶事全集》（The Complete Collection of Hilbert Stories），库兰特（R. Courant）著。他的这段话从未被印刷出来，甚至从未写下来过，但在其他的书籍里广为流传。

[15]　这些小数都小于一，因为我们已经假定线段的长度是1（英寸）。

[16]　比如：

0.735 106 822 548 312…

我们分成

0.718 53…

0.302 41…

0.562 82…

[17]　52张没有包含大小王（译注）。