求不定积分时，用的方法不同，就有可能得到不同的形式的原函数。不过这些不同形式的原函数，是可以通过转化成为同一种形式的。这种情况特别多见于与三角函数有关的不定积分中。
比如正割函数的不定积分，就至少可以用三种方法，求出三种形式。为了让大家感受后两种解法的强大功能，老黄决定先从最繁的方法解起。
问题：求∫secxdx.
解法1：原积分=∫dx/cosx【依据：secx=1/cosx】
=∫dx/((cos(x/2))^2-(sin(x/2))^2)【依据：cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2，记为公式(1)，下面还有用】
=1/2*∫((cos(x/2)+sin(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2))+(cos(x/2)-sin(x/2))/(cos(x/2)+sin(x/2)))dx【反过来从后往前转化，将括号内通分相加，就可以检验它的正确性，这一步全靠经验的支持，注意不定积分前多了系数1/2。】
=1/2*(∫(cos(x/2)+sin(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2))dx+∫(cos(x/2)-sin(x/2))/(cos(x/2)+sin(x/2))dx)【运用了和的积分等于积分和的线性法则】
=-∫(d(cos(x/2)-sin(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2))+∫(d(sin(x/2)+cos(x/2)))/(cos(x/2)+sin(x/2))【这一步凑微分，很有技术感。两个不定积分同时凑微分。注意，不定积分前面的系数1/2在凑微分时，被用掉了】
=ln|(cos(x/2)+sin(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2))|+C.【这里运用了∫du/u=ln|u|，换元总是在悄无声息中完成的。另外还运用了lna-lnb=ln(a/b)】
=ln|(1+sinx)/cosx|+C.【分子分母同时乘以分子，分母运用了平方差公式以及公式(1)，分子运用了完全平方公式，以及sin^2+cos^2=1,和2sinxcosx=sin2x】
这是第一个结果：∫secxdx=ln|(1+sinx)/cosx|+C.
再看第二次解法，没有对比就没有伤害，你可以看到它有多简便。
解2：原积分=∫cosx/((cosx)^2)dx【欲擒故纵，先化得复杂点，然后再搞定它】
=∫dsinx/(1-(sinx)^2)【悄无声息的完成了凑微分】
=1/2*ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C.【这里运用了积分公式∫dx/(1-u^2)=1/2*ln|(1+u)/(1-u)|+C.换元又在悄无声息中完成的。】
这就得到了第二个结果：∫secxdx=1/2*ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C.
如果你嫌解法2还要运用到其它积分公式的话，放心，还有解法3. 他既简便，也无需运用到其它积分公式，简直可以简便到毁你的三观。就是需要一点脑筋才能想得到。
解3：原积分=∫(secx(secx+tanx))/(secx+tanx)dx【还是欲擒故纵，声东击西，这回化得更复杂，但是把分子的括号展开，分配律用起来，就会发现，分子正好是分母的微分】
=∫(d(tanx+secx))/(secx+tanx)dx=ln|secx+tanx|+C.【简单到毁三观吧！】
这就得到了原积分的三种不同的形式：
∫secxdx∫secxdx=ln|(1+sinx)/cosx|+C=1/2*ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C=ln|secx+tanx|+C.
其中第(1)(3)种形式很明显可以看出是一致的。关键是形式(2)要怎么转化成形式(1)或形式(3).
其实也很简单的，只要转换√|(1+sinx)/(1-sinx)|成|(1+sinx)/cosx|就可以了。形式(2)分子分母同时乘以√(1+sinx)，分母为√(1-(sinx)^2)=|cosx|成立；分子为√(1+sinx)^2=|1+sinx|，同样是成立的。因此虽然三个结果形式不同，但它们是可以统一成一个形式的。以后看到别人求的不定积分结果和你的形式不同，就不要轻易说别人求错了哦。
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