运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段。奇函数在对称区间上的单调性相同,且。偶函数在对称区间上的单调性相反,且。
例1、求解方程。
解:设函数,则是奇函数而且单调递增。原方程等价于,于是有,即,得为所求方程的解。
例2、若定义在(-1,1)上的奇函数是减函数,且有,求实数a的取值范围。
解:由,解得,再由,得。因f(x)为奇函数且为减函数,所以,可得,解不等式,得。综上可得。
例3、设是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意实数a、b∈[-1,1],当时,都有。
(1)若a>b,试比较与的大小。
(2)解不等式
。
解:(1)由a>b,得,即,由题意可得。因是奇函数,所以,可得,即。
(2)由(1),显然是定义在[-1,1]上的增函数,仿例2,易求出不等式的解为
(同学们不妨自己动手试一试)。
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