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普朗克常数纵横谈

（清风科普于2020年2月13日）

19世纪末，与经典力学和经典电磁学并驾齐驱的，是经典热力学。当时，人们普遍认为能量（如光）是连续的，而物质（如水）是不连续的。

01. 经典物理学头顶的两朵乌云：

然而，连续的能量会存在着一个严重问题：即“高端能量的紫外辐射”。这就是著名的 “黑体辐射” 与 “紫外灾难”，被英国科学家开尔文形象比喻为飘浮在经典物理学上空的两朵乌云之一。

另一朵乌云是 “迈克耳逊－莫雷实验” 与 “以太说破灭”。这朵乌云对经典物理学中的 “波” 的传播需要介质 “以太” 提出了挑战。以太（Ether），最早源于古希腊哲学家亚里士多德所设想的一种弥漫于空间的物质。后来被经典物理学奉为真理数千年，正如声音的传播需要“空气” 做为介质， 不会有人质疑。但正是因为有了对 “以太” 这朵乌云的质疑和破解，才会引出后来的 “光的波粒二象性”，这对经典物理学是颠覆性的革命。

为了消除第一朵乌云 “紫外灾难”，普朗克于1900年，在其新建的 “黑体辐射” 公式中，添加了一个量纲，做为粒子角动量的物理常数h，其数值：h=6.62607015×10^-34 J·s

（焦耳·秒）[来自第26届国际计量大会(CGPM)表决通过的精确值]。普朗克常数记为h，用以描述能量子大小。在量子力学中扮演重要角色。

附带：也很重要的基本物理常数，叫玻尔兹曼常数：

k=1.3806505×10^-23J/K（焦耳/开尔文）

02. 黑体辐射的研究成果：

说明：在黑体辐射研究中，出现多个物理表达式。其中，普朗克定律更适用于绿光中波中频领域，维恩近似值更适用于蓝紫光短波高频领域，瑞利-金斯定律更适用于红光长波低频领域。

瑞利-金斯公式在长波或高温情况下，同实验结果相吻合。但在短波范围，能量密度则迅速地单调上升，同实验结果矛盾。这就是物理学史上最著名的 “紫外灾难”。瑞利-金斯公式的严重缺陷，深刻揭露了经典物理的困惑，从而对辐射理论和近代物理学的发展，起了很重要的推动作用。科技发展有一条不成文的铁律：“有质疑，才有进步！”

03. 普朗克常数的发现：

普朗克在1900年研究物体热辐射的规律时发现，只有假定电磁波的发射和吸收不是连续的，而是一份一份地进行着，计算的结果才会与试验结果相吻合。这样的一份份能量叫做能量子，简称量子。

表达式：ε?=nhv（n=1，2，3…）

简式：E=hv

其中，ν为辐射电磁波的频率，h为普朗克常数。在不确定性原理中，粒子位置的不确定性×粒子速度的不确定性×粒子质量≥普朗克常数h。

千克（kg）的定义由普朗克常数决定，其原理是将移动质量1kg物体所需机械力换算成可用普朗克常数表达的电磁力，再通过质能转换公式算出质量。

在物理学的基本常数中，有些是通过实验观测发现的，如真空光速c 、库仑常数e、真空磁导率μ?、真空电容率ε?等。

有些是建立在相关定律或定理时被导出的，如牛顿引力常数G、阿伏伽德罗常数NA 、玻耳兹曼常数kB 等。

而普朗克常数h，则完全是凭借着普朗克的聪明智慧的大脑创造性地发现的。然而，它却是物理学中一个实实在在的、具有非凡意义的、神奇的自然常数。

04. 普朗克常数的特殊意义：

①能频当量：

可用光电效应实验来验算普朗克常数：

h=△Ek/△f=6.63×10?3?（J/Hz）（焦耳/赫兹）…（1）

电子脱出功：W=△Ek

W反映电子物质波动能△E与光子电磁波频率k的对应关系，可称之为能频当量。

当量关系，是应对、应激、应变、投影、迭代、转换等超对称关系的量纲分析法。

②功热当量：

能量增量与热量增量的当量关系，可称之为功热当量：

k'=△E/C△T=4.18（J/cal）（焦耳/卡路里）…（2）

③热电当量：

电流热效应中的热量与电流的当量关系或电阻参量，可称之为热电当量：

R=Q/I2t…（3）

④能温当量：

平均动能与绝对温标的当量关系，可称之为能温当量：

k=2Ek/3T=1.38×10?23J/K…（4）

05. 普朗克常数的普适性意义：

就光电效应而言，

普朗克常数之所以很小，

是因为电子质量极小：

m=9.11×10?31kg（公斤）

而紫外线的光子频率：

f>c/380nm=7.9×101? Hz（赫兹）

普朗克常数，揭示束缚电子变成自由电子所需要的临界性的光子频率f?或电磁辐射能E?。

作为光电效应方程，从公式（1）不难推导出：λ=2hc/mv2…（5）

（h普朗克常数，m费米子质量，v粒子速度，c光速，λ波长）

其意义在于：在大型强子对撞机中，当质量为m的费米子，其速度v被加速到接近光速c时，即v→c时，公式(5)可改写成：

λ=2hc/mc2=2h/mc…（6）

换句话说：费米子是一种物质波，也叫移动波源，当测地线循环速度达到光速v=c，其激发的极限频率：

f?=?mc2/h…（7）

公式(7)可写成h的定义式：

h=?mc2/f?…（8）

其中费米子质量很小，极限频率很高，因而h极小。况且m，c，f?都是常数，故h是不可改变的常数。

在正负电子对撞机中，

1个电子被加速到v→c，

而其Ek→?mc2时，

所激发光子的极限波长：

λ?=2h/mc=4.85（pm）（皮米）

极限频率：

f?=c/λ?=6.18×1021（Hz）（赫兹）

同理，在超大型强子对撞机中，质子被加速到v→c，质子动能Ek→?mc2时，激发光子的极限波长：

λ?=2h/mc=2.64（fm）（飞米）

该光子的极限半径：

r?=λ?/2π=0.42（fm）（飞米）

并伴随有光子的极限频率：f?=1.14×1023（Hz）（赫兹）

长度换算关系：m（米）

1mm（毫米）=10^-3m

1μm（微米）=10^-6m

1nm（纳米）=10^-9m

1pm（皮米）=10^-12m

1fm（飞米）=10^-15m

1am（阿米）=10^-18m

当然，如果能将α粒子加速到接近光速，所激发的光子波长约比质子激发波长小4倍，约0.1fm，是宇宙中波长最短的光子了。

注意：为与光电效应协调，建议把康普顿波长公式λc=h/mc修正为λ=2h/mc，把德布鲁伊波长λd=h/mv修正为λ=2h/mv。

06. 约化普朗克常数（?）：

①若以eV·s（电子伏特·秒）为能量单位，则

h=6.62607015×10^-34

÷1.602176 634×10^-19eV·s

=4.1356676969×10^-15 eV·s（电子伏特.秒）

②能量×时间：J.s（焦.秒）是h的能量子单位；动量×位移量：N·m·s（牛顿·米·秒），是h的角动量单位。

③由于计算角动量时要常用到h/2π这个数，为避免反复写h/ 2π ，因此引入个常用量叫约化普朗克常数?，，又称为狄拉克常数：?=h/(2π)

约化普朗克常量?（又称合理化普朗克常量）是角动量的最小衡量单位，?是一个量子的内禀角动量。注意?在h上有一条横杠，读作 "h拔" 。

④有时使用角频率 ω=2πν ：E=n?w

许多物理量可以量子化。譬如角动量量子化。 j为一个具有旋转不变量的系统全部的角动量， j? 为沿某特定方向上所测得的角动量。其值：

j?=j（j+1）?2=m?，

j=0，1/2，1，3/2，2，… ；

m=-j，-j+1，…，j

因此，?可称为 "角动量量子"。

⑤普朗克常数也使用于海森堡不确定原理。在位移测量上的不确定量（标准差） Δx，和同方向在动量测量上的不确定量 Δp有如下关系：ΔxΔp≥?。

⑥光电效应，光逐出每个电子的动能Ek，Ek可表示为：Ek=hv-Φ；Φ表示功函数，就是从物质表面逐出电子需要的最小能量。

07. 普朗克基本单位：（计算公式省略）

①普朗克最小体积：

Vp=10^-99 cm3（立方厘米）

（这也是宇宙大爆炸前的奇点体积，显然比夸克体积还小，小到可以忽略不计。所以说宇宙奇点，时间为0，空间为0。）

②普朗克尺度：

Lp=1.61624（12）x10^-35m（米）

[供参考：夸克直径10^-18m。

括号内（12）表示 “末位正负误差值”，理解成：

Lp=1.61624±0.00012×10^-35m（米）]

③普朗克温度：

Tp=1.416833(85) × 10^32k

（k为开尔文，热力学华氏温度单位）

④普朗克能量：

Ep=6.6260693（11）×10^-34J.s（焦.秒）

=4.13566743（35）×10^-15e∨.s（电子伏特.秒）

⑤普朗克质量：

mp=2.176 51(13) × 10^-8kg（公斤），=0.0217651 ± 0.0000013 μg（微克）

[普朗克质量相当于质子质量的1千亿亿倍，而质子质量是电子质量的1836倍。质子和电子的质量单位也可用Me∨/c表示（百万电子伏特/光速）。

质量的本质是静止的能量，能量的本质是运动的质量。当基本粒子达到光速时，能量趋于最大值为1，质量趋于最小值为0 。但不同的基本粒子之间，能量或质量大小又不同，如质子能量是电子能量的1836倍 ]。

⑥普朗克密度：

ρp=10^63个量子/cm3

（地球物质密度用克/cm3，天体物质密度用吨/cm3，宇宙物质密度用 “个量子/cm3”）。

⑦普朗克时间：

tp=10^-43秒

（即宇宙大爆炸的初始时间）

补充：秒的换算关系

1ms (毫秒)=10^-3秒

1μs (微秒)=10^-6秒

1ns (纳秒)=10^-9秒

1ps (皮秒)=10^-12秒

1fs (飞秒)=10^-15秒

[供参考：用激光闪击治疗眼角膜的方法有两种：全飞秒和半飞秒，可以人为有效控制。巳知光速约30万公里/秒，若基本粒子以光速飞行，每移动1厘米，会用去0.33纳秒（ns）。电子速度接近于光速，即v→c，换算后得出，电子绕核转一圈，所花的时间是0.628飞秒（fs）。

如果以普朗克时间10^-43秒作为基本单位，等价于1秒钟，那么电子绕核转一圈，需要多长时间呢？巳知1年=3.15x 10^7秒，1亿年=3.15x 10^15秒，1亿亿年=3.15x 10^30秒，电子绕核转一圈0.628×10^-15秒。

如果把普朗克时间10^-43秒等价于1秒，那么不难换算出来：电子绕原子核转一圈，所花的时间约为2百万亿年，而太阳系环绕银河中心转一圈只是2.8亿年，宇宙大爆炸至今才138.2亿年时间。可见，1秒对我们日常生活而言转瞬即逝，但相对于普朗克时间而言，简直就是最最慢长的地质年代。]