上一篇文章我们计算了什么时候存在三角形——恰当三角形，给定的大圆、小圆分别是三角形的外接圆、内切圆。（见《如何做到既内切又外接？》）然而这个主题我们还有值得玩味的地方。
Part1尺规作图
已知大圆半径和小圆的圆心距，如何通过尺规作图求对应小圆的半径？
我们尺规作图的依据基于上期文章的公式：
通过简单变形：
以下是作图的具体步骤.
我们需要先求出分子.
如上图，，分别过作垂线垂直于交于点.
由勾股定理，我们立即可知. 我们接下来还需要对进行平方. 所谓平方，即是求.
在上截取，作平行线，交于点.
由相似原理：，于是有相似关系：
我们将视为单位1，代入得到
取中点，以为圆心，为半径作圆. 完毕. 最后我们得到：
然后过上任意一点做切线……皆可得到恰当三角形，这由pencelet定理保证，事实上对于一般椭圆曲线也成立.
Part2垂足曲线
如上动图，轨迹曲线由外接圆圆心到三角形三边的垂足运动而成。我们接下来求一下它的曲线方程. 建系如下：
不妨设，即，设由上期文章中的公式：
即得
这是一个极坐标方程，该曲线正是心形曲线.
Part3反演观点
何谓“反演”？请看下图：是圆心位于原点的单位圆中的任意一点，接下来我们找点关于的反演点. 我们称是反演圆，圆心称为反演中心。连接并延长，做过点关于射线的垂线交圆于点；做过点的切线交于点，则为的反演.（若再对点取共轭，则得到点的复反演.）容易验证，反演的反演是恒等变换.
反演满足以下几何性质：
（保圆性）反演将圆映射为圆.
更确切地讲，反演将反演圆内的小圆映射为圆外的大圆，或者反过来. 若圆与反演圆相交，则其反演的像也与反演圆相交于相同的点. 特别地，若圆通过反演中心，则其像为直线。因为反演中心被反演为无穷远点，所以我们把直线视为过无穷远点的无穷大的圆.
如果我们以内切圆为反演圆，然后对外接圆、恰当三角形进行反演，则其反演的像如下：
由于直线是经过无穷远点的大圆，所以其反演像必经过反演圆圆心；又恰当三角形三边与反演圆（内切圆）相切，所以其反演像必与反演圆相切，于是恰当三角形三边被反演为过圆心直径为反演圆半径的绿色小圆.
这些小圆两两相交，每两个小圆有两个交点，其中一个是反演圆圆心（因为任意两条直线都在无穷远点相交）. 而外接圆过恰当三角形的三个角点，平面上不共线三点确定唯一的圆，所以外接圆的反演像恰过这三个角点的反演像.
所以当我们问：已知两圆，何时存在如图中三个绿色小圆？此时我们就可以利用反演，然后回到恰当三角形的存在性判别问题中.
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