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重视核心素养，考好高中数学

——以2022全国新高考1卷数学为例

文/刘蒋巍

本文是《立意新颖，界定明确，有效区分[1]——2022全国新高考1卷数学评析》姊妹篇。

学好高中数学，未必能考好高中数学。要“考好高中数学”，一定要重视核心素养。因为高考数学是为考察核心素养而设计的。

下面从“理解数学抽象，多得分”、“理解逻辑推理，快得分”、“理解数学建模，好得分”、“理解直观想象，巧得分”、“理解数学运算，少失分”等5大核心素养视角，分析2022全国新高考1卷数学题，希望能给各位教师、同学一些启发。

01 理解数学抽象，多得分

抽象方法包括：性质抽象、关系抽象、等置抽象、无限抽象，以及强抽象和弱抽象。

数学考试中，涉及最多的是“关系抽象”、“强抽象和弱抽象”。

数学关系抽象是指根据认识目的，从研究对象中抽取或建构若干构成要素之间的数量关系或空间位置关系，而舍弃其他无关特征或物理现实意义的抽象方法。

关系抽象在处理问题过程中是经常用到的，有时解题的关键就在于一个关系的抽取或建构。如求值（2sin 80°—sin 20°）／cos 20°，若仅从直观上抽取80°＝4*20°这个倍数关系，问题将难以解决，而若从特殊角出发，建构80°角与20°角的如下关系：80°＝60°＋20°，问题便可迎刃而解。

弱抽象和强抽象也是数学中常用的抽象方法。

先来看下面两组例子，一组是：

数→式.

正比例函数→一次函数→代数函数→函数.

全等三角形→相似三角形.

另一组是：

三角形→等腰三角形→等边三角形.

四边形→平行四边形→矩形→正方形.

两组例子给出的是两种不同的抽象方式：弱抽象和强抽象。

强抽象，可以看成“从一般到特殊的过程”；强抽象，可以看成“从特殊到一般的过程”。

譬如：试比较1001^2001与2001！的大小。这道题可以直接证明，但是通过考虑它的一般情况来证明更为简便。首先，通过观察1001^2001与2001!的结构和联系，可以发现，1001＝(2001+1)/2，所以问题转化为比较[(2001＋1)/2]^2001与2001!的大小。将2001抽象成n，将其一般化，即比较[(n+1)/2]^n与n!的大小，联想不等式[(1+2+3+···+n)/n]^n>n!以及1+2+3+..+n=n(n+1)/2，即得所需结果。

在解决问题中，观察条件、结论的结构和联系是非常重要的。

类似的，2022全国高考1卷第7题。

02 理解逻辑推理，快得分

数学推理是学生学习数学、进行思考的基本能力。一般地，可从以下两个方面入手培养学生的数学推理能力。

1.加强数学活动的过程教学，提高合情推理能力

通过适当的学习活动，尽可能使学生亲自体验概念的形成过程；精心设计和组织教学，引导学生参与公式、定理、法则、性质的发现、探索、推导过程；尽量暴露解题的思考过程，尤其是解题中思路受阻及产生错误后是如何调整思维方式的，帮助学生掌握探索的方法与解题的规律，培养和发展自我调控的能力.

2.有目的、有计划、有步骤地进行演绎推理的训练，提高演绎推理的能力

（1）结合具体数学内容，介绍或讲授一些必要的逻辑知识．

一般来说，学生经过几年的学习，可以获得一定的逻辑训练.但是因为在教材和教学中，只对数学内容本身进行解释，而对其中的逻辑成分很少解释，学生在没理解逻辑成分的情况下去学习推理往往只是不自觉地使用逻辑法则，有时还会发生逻辑错误，这当然是不利于其逻辑思维和推理能力的发展，为了帮助学生更自觉地使用逻辑规则，避免逻辑错误，提高思维和推理能力，有必要学习关于逻辑的初步知识。

（2）向学生明确“运算也是推理”的思想，有意识地在运算中培养学生“说理”的习惯和能力.

明确“运算也是推理”的思想是十分重要的。因为在中学代数，尤其是初中代数中，含有较多的具有算法性质的内容，学生在学习这部分内容时，往往只是记忆运算的步骤，而忽视对运算依据的理解和掌握，这就不利于运算的准确性，也不利于推理能力的培养。当然，这也不是说要掌握所有数、式运算的依据，这在中学数学中也是做不到的，但是，要强调把计算步骤与依据结合起来，尽可能做到“数学地记忆”，培养学生“说理”的习惯和能力，从中提高推理能力。

（3）向学生明确“化归也是推理”的思想

在数学问题中，给出的条件有时会在量、形关系上显得较为杂乱，无从下手。这时，需要根据待解问题的表现形式，对所给的量、形关系做和谐统一的化归。即化归应朝着使待解问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更匀称和恰当。

【例题】在Δ ABC中，A＝2C，求证：b/3＜a—c＜b/2．

分析 条件是角的关系，结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结论与条件统一起来，转化为sin B/3 <sin A—sin C<sin B/2，进一步将角统一起来，由A＝2C，B＝π—（A＋C）＝π—3C，结论进一步转化为关于单变元C的不等式sin 3C/3<sin 2C—sin C<sin 3C/2，将之再简单化为两个更为具体的不等式，即sin 3C/3＜sin 2C—sin C，且 sin 2C—sin C＜sin 3C/2.从而，问题就化归为如下两个表现形式上较统一的问题：

（1）在Δ ABC中，A＝2C，求证 sin 3C＜3sin 2C—3sin C．

（2）在Δ ABC中，A＝2C，求证2sin 2C—2sin C＜sin 3C．

对于问题（1），继续将结论统一为关于同角C的同名三角函数的不等式：

sin 3C<3sin 2C—3sin C，

等价于3sin C—4（sinC）^3<6sinCcos C—3sinC

等价于—4(sinC)^2—6cos C+6<0

等价于2（cosC）^2—3cos C+1<0

等价于(2cos C—1)(cos C—1)<0

等价于2cos C—1>0

等价于cosC>1/2.

问题（1）随之就化归为：在ΔABC中，A＝2C，求证cosC＞1/2．这是一个很简单的问题．同样可证问题（2）．

分析上述解题过程，如何将元素统一，以及将条件与结论在表现形式上的统一是问题解决的关键，化归正是朝着这个方向进行的。

其实，回顾、反思中学数学学习，很多内容都是遵循统一性原则的：如不同底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的对数来运算；多变元的问题通过消元变为一个变元的问题；三角诱导公式的重要作用就是实现三角式的和谐统一，等等。

类似的，2022全国1卷第18题。

03 理解数学建模，好得分

所谓模型是一种结构，这种结构是通过对原型的形式化或模拟与抽象得到的。所谓数学模型就是研究者依据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主要关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的一种结构。

数学模型方法是借用数学模型来研究原型的功能特征及其内在规律，并应用于实际的一种方法。

注：该例[2]为笔者文章“例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J]. 文理导航(中旬),2017,(02)”节选。

类似的，有全国1卷第8题、全国乙卷第9题。

04 理解直观想象，巧得分

对于一些复杂的代数综合题，若优先考虑其几何特征，即便是大致的图形，也可利用几何直观性迅速找到解题的突破口。

分析 这是2022年全国1卷压轴题，试题新颖别致，它令无数考生又痛又喜欢。绝大多数学生畏惧于开放性的设问，但若能将函数的草图大致画出来，就能发现b>1，进而理清证明的方向。

05 理解数学运算，少失分

在初等数学中，运算对象主要有数、式、向量、几何图形等。相应的运算主要有：

初等代数运算——加法、减法、乘法、除法、乘方、开方.

初等超越运算——指数运算、对数运算、三角和反三角运算等.

几何运算——平移、旋转、反射、位似、相似等.

参考文献

[1] 刘蒋巍.一道高中数学联赛模拟题的命制与解析[J].中学数学教学参考,2018(07):60-61.

[2] 谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J]. 文理导航(中旬),2017,(02)

作者简介：

刘蒋巍，江苏如东人，中国数学会会员，CNKI大成编客推荐主编，《课程教育研究》特约编委,学思堂教育研究院院长，师生成长高级研修院院长，在《高等数学研究》、《中学数学教学参考》等杂志发表论文30余篇，著有《命题转换的9种方法在教学中的运用》、《中学学科学法指导》、《中高考数学命题技术研究》、《江苏高考数学复习指南》、《升学考试数学试卷的命制》 、《教学之道28篇》、《新时代人力资源管理教程》、《有效教研》等书籍20余本。拥有《LOVE教学原则、ICPR教学法、IPBQLD教学法与五感授课》、《LSMF教学法、EBASV教学法与渐进式提问》、《6783教学体系：文言翻译六字诀、编题七字诀、读写结合八步法、三情境反思法》、《教师四课研训》、《五步成“师”：数学教师成长的5条路径》等版权课程300余部。